受賞者

業績題目

片山聡一郎（大阪大学大学院理学研究科）

非線形双曲型偏微分方程式系における零構造の研究

小池茂昭（東北大学大学院理学研究科）

完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式の $L^p$ 粘性解理論

笹本智弘（東京工業大学理学院）

非平衡確率力学系の厳密解による研究

受賞者

小池茂昭（東北大学大学院理学研究科）

業績題目

完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式の $L^p$ 粘性解理論

受賞理由

小池茂昭氏は非線形偏微分方程式における広義解の一種である粘性解に関する研究にその黎明期より取り組んできた．Święch 氏との共同研究において，Cafferelli らによって導入された $L^p$ 粘性解を用いて完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式に対する Aleksandrov-Bakelman-Pucci 型最大値原理（ABP 最大値原理）を示し，次いで Harnack 型不等式を証明することにより，$L^p$ 粘性解に対する Hölder 連続性評価を確立した．さらにそれを基礎に，係数や低階項への条件をほぼ限界にまで拡張して最終的な正則性理論を整備した．
これらの成果は超函数を基盤として確立された準線形楕円型偏微分方程式の正則性理論を完全非線形楕円型方程式に拡張し，最終的に $L^p$ 粘性解を経由して正則性理論を整備したことにあたる．一般に $L^p$ 粘性解は連続な粘性解より解の性質が良くなるために，偏微分方程式としての係数や低階項に対する制限が緩和される．小池氏は２階主要部の問題に対する低階項や，主要部と同等な解の微分の二乗臨界項に対する係数の正則性を緩和し，確率微分方程式の可解性や数理ファイナンス等への応用に道を開いた．例えば，Pucci 作用素に対応している確率過程である $G$-ブラウン運動の構成とそれに基づいた確率微分方程式の可解性に小池氏の研究は大きな影響を与えるものであり，これらの方面の研究が大きく進展することに寄与している．
また Lévy 過程に関連した分数べきラプラシアンに関わる完全非線形放物型問題に対する粘性解理論を構築し，優れた成果を挙げた．これらの成果は十分一般的な係数に対する確率過程論やその制御問題への応用に道を開くなど大きな影響を与える成果である．
以上のように，小池茂昭氏の研究は粘性解理論を基にした，完全非線形問題の正則性理論の一般化や数理ファイナンス理論，ゲーム理論，微分幾何学的諸問題への高度な応用が見込まれ，様々な分野に影響のある優れた業績を挙げており，日本数学会解析学賞に誠に相応しいものである．