2004年度日本数学会賞秋季賞

2004年度日本数学会賞秋季賞

新井敏康(神戸大学大学院自然科学研究科)
Hilbertの第2問題に関する証明論の展開

数学が扱っている実数のような超限的な対象の存在はどのようにして保証すればよいのだろうか.この問題に対して,ヒルベルトはまず超限的な対象に関わる性質を公理として形式的に表現し,つぎにこうして得られた形式体系の無矛盾性を証明すればよいと考えた.彼はこの研究への最初のステップとして `算術の無矛盾性を証明せよ' という問題を提起した.これはヒルベルトの第2問題とよばれるが,現在ではこれは `実数論の無矛盾性を証明せよ' という問題であると理解されている.

1931年ゲーデルは不完全性定理を証明し,ヒルベルトが当初考えていた `有限の立場' の範囲内で無矛盾性の証明をおこなうことはできないことを明らかにした.他方,ゲンツェンは1936年にヒルベルトの `有限の立場' を少し緩め,ある順序数までの超限帰納法を認めることにより,自然数論の無矛盾性の証明に成功した.さらに竹内外史はより大きな順序数を記述する方法を開発し,ゲンツェンの方法を拡張することによって実数論の部分体系の無矛盾性の証明を与え,ヒルベルトの第2問題に対する証明論をつぎの段階に進めることに成功した.

新井氏がそれまで暖めてきた証明論に対する彼の構想の全貌を明らかにしたのは7年前である.それは,実数論に留まらず全数学を含む集合論の無矛盾性証明を与えようという壮大なものであった.新井氏は,集合論に最小限どれだけの帰納的論証法を付加すれば無矛盾性の証明が完結するのかという問いかけから出発し,超限帰納法ないし帰納的定義の整礎性を拠り所にすれば,集合論そして数学全体の整合性に対して数学者が抱いている信念を最も合理的な形で保証できると考えた.具体的には,公理論的集合論で現在盛んに研究されている巨大基数についてその帰納的類似物であるような順序数を考え,その順序数までの超限帰納法を仮定することによって対応する集合論の無矛盾性を示そうというのである.

実際この数年間に発表または発表予定の一連の論文の中で,新井氏はそれらの順序数のうちの一つである反映的順序数をモデルに持つ集合論について,その無矛盾性の証明を含む証明論の構築に成功している.このような研究の進展は証明論の研究者が予想もしなかった驚くべきものであり,これらの結果はヒルベルトの第2問題に関する研究における真の意味でのbreakthroughと考えられる.しかしこれらの結果の重要性が本当に認識されるまでにはさらに年月を要するのであろう.

これらの新井氏の研究の源にあるのは,人間が長い間かけて構築してきた数学および数学の整合性に対する深い信頼であり,新井氏の仕事は,その信頼を究極的な形で数学的に表現するという数学基礎論本来の問いかけに対する最も先端的な道を切り開いたといえる.このように,新井氏はヒルベルトの第2問題に関する証明論において多大な貢献をするとともにこれからの数学基礎論の研究に対する新たな展望を与えた.

以上のように,同氏の研究業績は顕著なものであり,2004年度日本数学会賞秋季賞を授与するにふさわしいものであります.

日本数学会
理事長 森田 康夫