第3回 湘南数学セミナー

テーマ 「複素数の世界」

講師 京都大学理学部数学教室教授 上野健爾先生

　複素数は数学の歴史では古くから登場していますが、本当の数として認められたのは19世紀中頃のこと。それまでは、「虚数」という名前が示すように、本当の数ではなく、仕方なく使う数としての意味しかありませんでした。特にカルダノによる3次元方程式の解の公式ではどうしても複素数を使わねばならず、多くの数学者を悩ませたそうです。今日、複素数の活躍は数学だけではありません。物理学の世界では「量子力学」において本質的な役割を果すなど、科学、工学の多くの分野でも、なくてはならない数となっています。

パート1
　複素数って何?
なぜ必要なの?
複素数の生い立ちから話しをはじめて、代数方程式を主に、複素数を考えることの意味を探ります。

パート2
　2項展開から無限級数へ～無限級数と複素数の関数～
無限級数を通して、具体的に計算することによって複素数の世界を体験します。例えば2項展開
(1+x)²=1+2x+x²
(1+x)³=1+3x+3x²+x³
(1+x)^-1=1+x+x²+x³+x⁴+…
と
(1+x)⁴=1+4x+6x²+4x³+x⁴
は実は親戚の関係にあり、さらに一般に (1+x)^a を考えることができるのです。これを調べることによって、複素数の持つ秘密に迫ります。

パート3
三角関数と楕円関数
三角関数を複素数まで広げて考えることによって、全く別の世界が見えてきます。三角関数の逆関数を考えてみましょう。さらに世界が広がり、現代数学の世界へとつながっていきます。

面白い問題をみんなで一緒に考えるワークショップの時間もあるよ!