会田茂樹（大阪大学大学院基礎工学研究科）

無限次元空間上の確率解析

菱田俊明（新潟大学自然科学系）

ナビエ・ストークス方程式における藤田・加藤理論の新展開

平井武（京都大学名誉教授）

無限対称群およびその環積の既約表現ならびに指標の研究

平井武（京都大学名誉教授）

無限対称群およびその環積の既約表現ならびに指標の研究

平井武氏の無限対称群とその環積の既約表現及び指標に関する研究は位相群の表現論における画期的な業績といえる．これまでも，平井氏は一般ローレンツ群の既約表現の分類，実半単純群の指標の研究などの記念碑的な業績を挙げている．有限対称群については古くから盛んに研究され古典とも言える大理論が打ちたてられ，数学のみならず理論物理など多くの分野に豊かな応用をもたらしている．一方，無限対称群は，いわゆる非 I 型の群であり表現の既約表現への分解が一意でないなど，難しい研究対象といえる．そのため既約表現の代わりに因子表現を考えるわけであるが，１９６０年代に Thoma により無限対称群の因子表現の分類と指標の具体的な記述が与えられた．一方，因子表現の分類パラメーターを増大する Young 図形の漸近挙動により記述し，無限対称群の因子表現の指標を有限対称群の既約指標の極限として表すという結果が１９７０年代末に Vershik-Kerov によって得られた．これにより無限対称群と，有限対称群の古典理論が結びつき，これらの結果は，Okounkov などによって最近急速に進展しているランダム Young 図形の研究に大きく影響を与えている．
一方，平井氏は，扱いづらさゆえに無限対称群ではあまり研究されて来なかった既約表現を調べた．まず無限対称群のように帰納極限を用いて表される群に対する表現論の一般論を辰馬伸彦氏，尾畑伸明氏と下村宏彰氏の協力の下で整備し，それに基づき無限対称群の既約表現を豊富に構成し，Thoma の指標公式に対する既約表現からのアプローチを確立した．平井氏の方法の大きな長所は無限対称群とコンパクト群との環積の場合にも適用可能なことである．たとえば２次の巡回群と無限対称群の環積は無限ランクの B 型 Weyl 群になる．平井氏は洞彰人氏や平井悦子氏らとともにこのプログラムを押し進め Vershik-Kerov 理論の環積への一般化を行った．この平井氏らの結果により，コンパクト群や B 型 Weyl 群などの豊かな古典的な理論を持つ数学的対象とランダム Young 図形の漸近挙動を結びつけることができるようになり，ここに新しい道が切り拓かれた．
このように，平井武氏の無限対称群とその環積の既約表現及び指標に関する一連の研究業績は解析学賞にふさわしい優れた業績である．