杉本充（名古屋大学大学院多元数理科学研究科）

モデュレーション空間および分散型偏微分方程式の平滑化評価の調和解析的研究

竹村彰通（東京大学大学院情報理工学系研究科）

ホロノミック勾配法に関する研究

田中和永（早稲田大学理工学術院基幹理工学部）

非線型楕円型偏微分方程式の特異摂動問題に対する多重クラスター解の変分法的研究

杉本充（名古屋大学大学院多元数理科学研究科）

モデュレーション空間および分散型偏微分方程式の平滑化評価の調和解析的研究

双曲型・分散型偏微分方程式の基本解を与えるフーリエ積分作用素に対する，時空評価（いわゆるストリッカーツ型評価）や加藤型平滑化評価は，ユークリッド空間の部分多様体に台をもつ超函数のフーリエ変換，あるいは同様な多様体へのフーリエ変換の制限の双対としてとらえられ，調和解析の研究対象として盛んに研究されてきた．一方，線型シュレディンガー方程式の成すユニタリ群に対する函数解析的な枠組として，加藤敏夫，谷島賢二らによって発展した $H$-super smooth 理論は，シュレディンガー方程式の解の平滑化効果として，その後，非線型問題への広汎な応用が展開され，この分野の発展を促している．杉本氏は，M. Ruzhansky 氏らと共同で，これら二つの分野における評価を，主表象の比較と正準変換による新しい視点でとらえて，シュレディンガー型にとどまらず，様々な方程式の基本解を与えるフーリエ積分作用素に対して，重み係数・正則性・可積分性・補間指数といった重要な径数の相互関係と共に，一般化し，相互の関連を明らかにした．さらに，平滑化評価の最良定数とそれを達成する函数の存在を示し，これらの評価の空間次元に関する非一様性を明らかにするなど，深い成果を挙げた．杉本氏の結果により，各種分散型方程式の基本解に対する平滑化評価は，統一的網羅的に説明され，その双対として，例えば球面上へのフーリエ制限評価の最良定数などが同定されるなど，多彩な最良評価が得られている．
一方，モデュレーション空間とその類型であるアマルガム空間に対する杉本氏の実解析的研究も顕著である．モデュレーション空間は Feichtinger により導入され，王保祥（Baoxiang Wang）により非線型シュレディンガー方程式，非線型クライン・ゴルドン方程式の研究に初めて応用されたものである．杉本氏は冨田直人氏，小林政晴氏，王保祥氏らと共に，モデュレーション空間でのスケール則の分類を行い，応用上重要な基礎を確立した．この研究から発展して，斉次ベゾフ空間との融合を担う $\alpha$-モデュレーション空間の理論を創出し，スケール則を精密に分類した．さらに，その上での擬微分作用素や交換作用素の有界性理論を整備し，非線型問題への応用を展開している．
以上のように杉本氏は，調和解析的手法を基に，函数解析学，偏微分方程式論，実函数論にまたがる広大な分野に寄与するものであり，その優れた業績は日本数学会解析学賞に誠に相応しいものである．