長田博文氏はこれまでディリクレ形式を用いたアプローチで，フラクタル上の拡散過程や相互作用をもつ無限粒子系の時間発展（干渉ブラウン運動）の構成およびそれらの詳しい解析を行ってきた．近年は特にランダム行列理論を動機とする干渉ブラウン運動の研究において著しい業績をあげている．
ガウス型ランダム行列の固有値を有限粒子系とみなすと，行列サイズを無限大とするスケール極限において，スケールの取り方に応じて Dyson 場，Ginibre 場，Airy 場など様々な重要な確率（点）場があらわれる．これらは有限粒子近似のレベルでは２体相互作用ポテンシャルが対数関数となるため，極限としてあらわれる確率場は，これまで多くの研究がなされてきた Ruelle クラスの Gibbs 測度の範疇からは大きく外れており，特にその時間発展の取り扱いは極めて困難であった．長田氏は最近の一連の研究で，従来の Gibbs 測度を含む「準 Gibbs 測度」という広いクラスを導入することにより，準 Gibbs 測度を不変とする拡散過程を構成するための一般論を展開し，Dyson 場や Ginibre 場が準 Gibbs 測度となることを示して，対応する拡散過程を構成した．さらに無限粒子系の空間の接ベクトルに相当する「確率場の対数微分」の概念を導入することにより，配置空間の幾何学的描像を明らかにするとともに，ディリクレ形式により配置空間上に構成された拡散過程がみたすべき無限次元確率微分方程式の形を決定し，それが解を持つことを示した．また，異なる表現をもつ無限次元確率微分方程式が同じ拡散過程を定め得るという無限次元特有の現象も発見している．Airy 場は，界面成長モデルやランダム行列の最大固有値の問題などとともに，最近注目を集めている KPZ 普遍性との関連で盛んに研究されている．上述の一般論の拡張により Airy 場の準 Gibbs 性の証明の枠組みを与えた論文が２０１３年に Itô Prize を受賞するなど，長田氏の一連の研究は国際的にも高く評価されている．
長田博文氏の業績は極めて独創的で解析学の手法を駆使したものであり，解析学賞にふさわしいものである． |